NF杯2023(B)

　 $x$ についての多項式 $(x+1)^{2024}$ を $x^2+1$ で割った余りは $2^{1012}$ である．これは $x$ に虚数単位 $i$ を代入すれば分かる．よって $2^{130}+1$ を法として $(2^{65}+1)^{2024}\equiv 2^{1012}$ が成り立つ． $1012=130\times 7+102$ なので $2^{1012}\equiv -2^{102}$ となり， $n$ として条件を満たす最小のものは $\mathbf{102}$ である．

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