NF杯2023(F)

以降,合同式の法は$p$である.

$ab+bc+ca\equiv 0$であるが,$a\equiv 0$ならば$b\equiv 0$または$c\equiv 0$となる.しかし,$a,b,c$に重複がないという条件があるため,これは不適である.

よって,$a,b,c\neq 0\pmod{p}$ である.

このとき,$x,y,z$を

$$x=a^{-1},y=b^{-1},z=c^{-1}$$

と定義すると,求めるべき答えは

$$X:=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{F}_p^3;x+y+z\equiv 0,|\lbrace x,y,z\rbrace|=3,0\notin \lbrace x,y,z\rbrace \rbrace$$

としたときの$X$の元の個数である.

ここで,$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{F}_p^3\setminus\lbrace 0\rbrace$に対して

$$(x_1,y_1,z_1)\sim (x_2,y_2,z_2)\equiv_{\mathrm{def}} \exists t\in\mathbb{F}_p\setminus\lbrace 0\rbrace,\mathrm{s.t.}x_1=tx_2,y_1=ty_2,z_1=tz_2$$

と定める.

さらに,$v \in \mathbb{F}_p^3\setminus\lbrace 0\rbrace$に対して,

$$\left[v\right]\equiv_{\mathrm{def}} \lbrace u\in\mathbb{F}_p^3;u\sim v\rbrace$$

と定める.ここで,$\forall v \in \mathbb{F}_p^3\setminus\lbrace 0\rbrace$について,$|\left[v\right]|=p-1$であることに注意である.

さらに,$u\sim v$ならば$u\in X$と$v\in X$が同値であるため,

$$X=\sqcup_{k=1}^{m} \left[v_k\right]$$

となる.ここで,$v_i\sim v_j$ならば$i=j$が成り立つ.

このような$v_1,\ldots,v_m$の組み合わせを取ることができて,$|X|=(p-1)m$となる.

よって,$m$を求めればよい.

$$Y:=\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{F}_p^3\setminus \lbrace 0\rbrace ; x+y+z\equiv 0\rbrace$$

としたとき,

$$|Y|=p^2-1=(p-1)(p+1)$$

となる.さらに,$Y$はベクトルを定数倍したときに集合に入っているかが不変なので,ある$v_1,\ldots,v_{p+1}$が存在して,

$$Y=\sqcup_{k=1}^{p+1} \left[v_k\right]$$

と書くことができる.ここで,$v_i\sim v_j$ならば$i=j$である.

この中から,$|\lbrace x,y,z\rbrace|=3,0\notin \lbrace x,y,z\rbrace$という条件を満たす元を取り除くことを考える.

結論から言うと,取り除かれる対象は

$$\left[(0,1,-1)\right],\left[(-1,0,1)\right],\left[(1,-1,0)\right],\left[(-2,1,1)\right],\left[(1,-2,1)\right],\left[(1,1,-2)\right]$$

の6つで全てである.このとき,これら6つには重複は無い.

よって,

$$X=Y\setminus \lbrace(6つのベクトル)\rbrace$$

なので,$m=p+1-6=p-5$である.よって,$|X|=(p-1)(p-5)$である.

求めるべき確率の分母は$p(p-1)(p-2)$であるため,答えは

$$\dfrac{(p-1)(p-5)}{p(p-1)(p-2)}=\dfrac{p-5}{p(p-2)}=\dfrac{2012}{2015\cdot 2017}$$