NF杯2023(F)

　$x=ab+bc+ca$ とおき，$p=2017$ とする．$a=p$ のとき，$x$ が $p$ で割り切れるとすると，$b=c=p$ となるから不適．よって問題は，$1$ 以上 $p-1$ 以下の相異なる整数の組 $(a,b,c)$ であって，$x$ が $p$ の倍数になるようなものを求めることに帰着する．まず，相異なるという条件を考慮せずに組を求める．
　以下, 合同式の法は $p$ とする．また，

• $S_1$ を $1\leq a,b,c\leq p-1,a\neq b$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．
• $S_2$ を $1\leq a,b,c\leq p-1,a\neq b,b=c$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．
• $S_3$ を $1\leq a,b,c\leq p-1,a\neq b,c=a$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．

求めるべきは $|S_1|-|(S_2\cup S_3)|=|S_1| - |S_2| - |S_3| + |S_2\cap S_3|$である.

• $|S_2|$ を求める．$b=c$ より，$x = ab + b^2 + ab = b(2a + b)$．$b$ は $p$ で割れないので $2a + b$ が $p$ で割れる．$a$ を任意に一つ定めたとき，$b$ を $b\equiv -2a$ を満たすように $1$ 通りだけ取ることができるため，$2a + b$ が $p$ の倍数になる場合の数は $p-1$ 通りである. よって $|S_2| = p-1$．対称性より $|S_3| = p-1$ でもある．
• $S_2\cap S_3$ について，$a=b=c$とすると $x = 3a^2$ であり，これは$p$で割れない．よって $|S_2\cap S_3| = 0$．

よって $|S_1| - 2(p-1)$ を求めればよい．以下，$|S_1|$を求める．$x=(a+b)c + ab$ に注目し，$a+b$ が $p$ で割れるかで場合分けを行う．

• $a+b$ が $p$ で割れないとき，$s(a+b)\equiv 1$ となる $p$ で割れない整数 $s$ があるので， $x\equiv 0$ ならば $c\equiv -abs$ となる．$-abs\not\equiv 0$ であり，このよう な$c$ は一つに定まるから，$a+b$ が $p$ の倍数 ($\iff a+b = p$) でないような組 $(a,b)$ で $a\neq b$ を満たすものの分だけ，題意を満たす $(a,b,c)$ が得られる．$a = b$ と $a+b = p$ は両立しないことに注意すると，そのような $(a,b)$ の個数は $(p-1)^2 - (p-1) - (p-1) = (p-1)(p-3)$ 個と求まる．
• $a+b$ が $p$ で割れるとき，$ab$ が $p$ で割れるが，$1\leq a,b\leq p-1$ かつ $p$ が素数だからそれは起こらない．

以上より $|S_1| = (p-1)(p-3)$である．
　よって，求める場合の数は $(p-1)(p-3) - 2(p-1) = (p-1)(p-5)$ なので，求める確率は $$\frac{(p-1)(p-5)}{p(p-1)(p-2)}=\frac{p-5}{p(p-2)}$$ である．特に，$p=2017$ のとき， $$\frac{2012}{2017\cdot2015}=\frac{2012}{4064255}.$$ よって，求める値は $2012+4064255=\mathbf{4066267}$ である．