NF杯2023(L)

$AC$ と $PQ$ の交点を $E$ とすると, $AE:CE=3:2$ より, $CE=6$ である. $PQ \parallel BC$ であるから, $4$ 点 $A, P, Q, D$ は同一円周上にある. よって, $\angle{ABD}=\angle{QCE}$, $\angle{BAD}=\angle{CQE}$ が成り立つから, $\triangle{BAD}\sim \triangle{CQE}$ である. $BA:BD=CQ:CE$ であるから, $CQ=\dfrac{90}{13}$, $DQ=\dfrac{60}{13}$ である. $AD$ と $BC$, $PQ$ の交点をそれぞれ $F$, $G$ とおくと, $EG=\dfrac{3}{5}CF$, $QG=\dfrac{2}{5}CF$ より, $EQ:GQ=1:2$ である. 三角形 $ABC$ が二等辺三角形であることから, $$\angle{CEQ}=\angle{ACB}=\angle{ABC}=\angle{QDG}$$ であり, $4$ 点 $C, E, D, G$ は同一円周上にあると分かる. よって, 方べきの定理より, $EQ\cdot QG=CQ\cdot DQ=\dfrac{60}{13}\cdot\dfrac{90}{13}$ である. $EQ:GQ=1:2$ とあわせて, $EQ=\dfrac{30}{13}\sqrt{3}$, $GQ=\dfrac{60}{13}\sqrt{3}$ である. $\angle{BDA}=\angle{CDF}$ より, $DF$ は $\angle{BDC}$ の外角の二等分線であるから, $BF:FC=BD:CD$ であり, $BC:CF=19:150$ である. よって, $PE:EG=BC:CF=19:150$ であるから, $PE=\dfrac{57}{65}\sqrt{3}$ を得る. 以上より, $PQ=PE+EQ=\dfrac{207}{65}\sqrt{3}$ であり, 解答すべき値は $\mathbf{128612}$ である.