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NF杯2023

NF杯2023(J) - 相似と正弦定理

ユーザー解説 by bzuL

シムソン線に気づかなくても，（回転）相似を見つければ以下のように容易に解けます．「シムソンの定理の逆」の証明を埋めているだけですが、PQ⊥BCPQ\perp BC には気づかなくてもよいです．

三平方の定理により，MP=15,NP=7MP=15,NP=7 が得られる．
条件により，A,B,P,CA,B,P,C は同一円周上にあるから，円周角の定理より，∠CAP=∠CBP=∠QBP\angle{CAP} = \angle{CBP} = \angle{QBP}
また，A,M,P,NA,M,P,N も同一円周上にあるため，円周角の定理より，∠CAP=∠NAP=∠NMP=∠QMP\angle{CAP} = \angle{NAP} = \angle{NMP}=\angle{QMP}
よって，∠QBP=∠QMP\angle{QBP} = \angle{QMP} となるから，Q,M,B,PQ,M,B,P は同一円周上にある．
円周角の定理を使うことで，以下の二つが示せる． ∠QPM=∠QBM=∠CBA=∠CPA∠PMQ=∠PMN=∠PAN=∠PAC \angle{QPM}=\angle{QBM}=\angle{CBA}=\angle{CPA} \\ \angle{PMQ}=\angle{PMN}=\angle{PAN}=\angle{PAC} したがって，△QPM∼△CPA\triangle{QPM} \sim \triangle{CPA} となるため，辺の比の条件から， PC=AP⋅QPMP=253 PC = \frac{AP\cdot QP}{MP} = \frac{25}{3} となり，sin⁡∠PAC=sin⁡∠PAN=725\sin \angle{PAC} = \sin \angle{PAN} = \dfrac{7}{25} となるので，正弦定理から半径 RR は， R=PC2sin⁡∠PAC=62542 R = \frac{PC}{2\sin \angle{PAC}} = \frac{625}{42} となる．