NF杯2023(J)

${P}$から${BC}$に下ろした垂線の足を${H}$とする. $4$点${A,B,P,C}$は同一円周上にあるので, $$\angle{ ABP}+\angle{ ACP}=180^\circ. \tag{1}$$ また, 円周角の定理の逆より, $4$点${M,B,P,H}$は同一円周上にあり, $$\angle{ ABP}=\angle{ MBP}=180^\circ-\angle{ PHM}.$$ $4$点${N,C,H,P}$は同一円周上にあり, $$\angle{ ACP}=180^\circ-\angle{ PCN}=180^\circ-\angle{ PHN}.$$ よって(1)が, $$\begin{aligned} &\quad (180^\circ-\angle{ PHM})+(180^\circ-\angle{ PHN})=180^\circ \\ &\iff \angle{ PHM}+\angle{ PHN}=180^\circ \end{aligned}$$ となるので$3$点${H,M,N}$は同一直線上にある. すなわち, ${H}$は${MN}$と${BC}$の交点で${Q}$と一致する(Simsonの定理の逆). 円周角の定理の逆より,$4$点${M,B,P,Q}$は同一円周上にあり$\angle{ PBC}=\angle{ PMN}$,$4$点${N,C,Q,P}$は同一円周上にあり$\angle{ PCB}=\angle{ PNM}$であるから $$\triangle{ PBC}\sim\triangle{ PMN}.$$ また, $4$点${A,M,P,N}$も同一円周上にあるので, Ptolemyの定理より, $$\begin{aligned} &\quad {AP}\cdot {MN}={AM}\cdot {PN}+{AN}\cdot {PM} \\ &\iff 25\cdot {MN}=20\cdot \sqrt{25^2-24^2}+24\cdot \sqrt{25^2-20^2} \\ &\iff {MN}=20. \end{aligned}$$ $\triangle{ PBC}$と$\triangle{ PMN}$の相似比を$k:1~(k\gt0)$とすると, ${PB}=15k,{PC}=7k,{BC}=20k$となり, Heronの公式から, $$\triangle{ PBC}=\sqrt{21k\cdot 6k\cdot 14k\cdot k}=42k^2.$$ また, ${PQ}\perp {BC}$より, $$\triangle{ PBC}=\dfrac{1}{2}\cdot {BC}\cdot {PQ}=\dfrac{1}{2}\cdot 20k\cdot 5=50k.$$ これらが等しいことから, $$\begin{aligned} &\quad 42k^2=50k \\ &\iff k=\dfrac{25}{21} \end{aligned}$$ であり, $${BC}=\dfrac{500}{21}.$$ ここで, 三角形の面積公式から, $$\triangle{ PBC}=\dfrac{1}{2}\cdot {PB}\cdot {PC}\cdot\sin{\angle{ BPC}} =\dfrac{1}{2}\cdot 15k\cdot 7k\cdot\sin{\angle{ BPC}} =\dfrac{105}{2}k^2\sin{\angle{ BPC}}.$$ これが$42k^2$と等しいことから, $$\sin{\angle{ BPC}}=\dfrac{4}{5}.$$ したがって, 正弦定理から$\Gamma$の半径$R$は $$R=\dfrac{{BC}}{2\sin{\angle{ BPC}}}=\dfrac{625}{42}.$$ すなわち,求める値は$625+42=\textbf{667}$.