サーモン杯 問題3

　ここでは, $R$ の位置を特定することを目標とします.
　今, $AP$ と $BC$ の交点を $T$ とすれば, 円周角の定理などを用いて以下のような角度計算を実行することにより $4$ 点 $A,T,Q,R$ の共円がわかります. $$\angle{TRQ}=\angle{BCQ}-\angle{RQC}=\angle{BAQ}-\angle{PBC}=\angle{BAQ}-\angle{BAP}=\angle{PAQ}$$ 　ここから方べきの定理より以下が成り立ちます. $$AM×MQ=TM×MR$$ 　一方 $4$ 点 $A,B,Q,C$ の共円に留意すれば, 方べきの定理より以下が成り立ちます. $$AM×MQ=BM×CM=\left(\frac{11}{2}\right)^2=\frac{121}{4}$$ 　今, $BT:TC=7:12$ なので, $$TM= BM-BT=\dfrac{11}{2}-11×\dfrac{7}{7+12}=\dfrac{55}{38}$$ であり, 以上から $$MR=\frac{AM×MQ}{TM}=\frac{121}{4}×\frac{38}{55}=\frac{209}{10}$$ と求まりました.