$10$ 円硬貨 $4$ 枚, $100$ 円硬貨 $7$ 枚, $500$ 円硬貨 $2$ 枚の全部または一部を用いてちょうど支払うことができる金額は $x$ 通りあります. $x$ を求めてください. ただし, 少なくとも $1$ 枚は硬貨を用いることとします.

$10 \times 10$ のマス目があります. 次の条件を満たすように, マス目を白と黒で塗り分ける方法は何通りありますか. 条件：どの $2 \times 2$ の部分マス目においても, その中に白マスと黒マスが $2$ 個ずつ含まれている. ただし, $2 × 2$ の部分マス目とは, 隣接する行と隣接する列の共通部分となる $4$ マスのことを指します.

　$\displaystyle \sum^{2020}_{n=0}{}_{2020}{\rm C}_n (n+1)^{2020}$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.